Nos sentidos de pôr despacho em um documento, atender, resolver, expedir, incumbir de serviço ou missão, o verbo despachar é transitivo direto:
O juiz já despachou seu documento?
Nos sentidos de enviar, expedir, o verbo despachar é transitivo direto e indireto juntamente com a preposição a:
Ontem despachamos ao advogado os processos solicitados.
No sentido de lavrar despachos em processos e requerimentos, o verbo despachar é intransitivo.
O juiz não despacha hoje, pois está em férias.